Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（4）=1，f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)，已知y=f′（x）的圖象如圖所示，若兩個(gè)正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，則

b+1

a+2

的取值范圍是（　�。�

• A、（

  5

  2

  ，+∞）
• B、（-∞，

  1

  4

  ）∪（

  5

  2

  ，+∞）
• C、（0，

  1

  4

  ）
• D、（

  1

  4

  ，

  5

  2

  ）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系,簡單線性規(guī)劃

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：先根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象判斷原函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)已知條件確定a、b的范圍，并在圖形上找到a，b所在的區(qū)域，弄清

b+1

a+2

表示的幾何意義，根據(jù)幾何意義求出

b+1

a+2

取值范圍．

解答： 解：由圖可知，當(dāng)x＞0時(shí)，導(dǎo)函數(shù)f'（x）＞0，原函數(shù)單調(diào)遞增；

∵兩正數(shù)a，b滿足f（2a+b）＜1，f（4）=1；
∴a，b滿足

2a+b＜4 a＞0 b＞0

，
∴點(diǎn)（a，b）的區(qū)域?yàn)閳D中三角形OAB部分，不包括BC邊界；

b+1

a+2

的幾何意義是區(qū)域的點(diǎn)與C（-2，-1）連線的斜率；
∵直線AC，BC的斜率分別是k_AC=

5

2

，k_BC=

1

4

；
∴

b+1

a+2

∈（

1

4

，

5

2

）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，線性規(guī)劃中不等式所表示的區(qū)域，根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線的斜率公式．找到a，b所在區(qū)域并弄清

b+1

a+2

表示的幾何意義是求解本題的關(guān)鍵．