Question

14．?dāng)?shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a_n+1=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$，a₁=2，則S₂₀₁₇=1010．

Answer 1

分析 由數(shù)列的遞推公式求出前四項，可得數(shù)列{a_n}是以3為周期的數(shù)列，求出S₃的值，由周期性求出S₂₀₁₇的值．

解答 解：由題意得，a₁=2，a_n+1=$\frac{{a}_{n}-1}{{a}_{n}}$=1-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴a₂=1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，a₃=1-2=-1，
a₄=1-（-1）=2，…，
∴數(shù)列{a_n}是以3為周期的數(shù)列，
又S₃=2+$\frac{1}{2}$-1=$\frac{3}{2}$，2017=3×672+1，
∴S₂₀₁₇=672×$\frac{3}{2}$+2=1010，
故答案為：1010．

點評 本題考查數(shù)列遞推式的應(yīng)用，以及數(shù)列周期性的應(yīng)用，求出數(shù)列{a_n}的周期是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．