Question

6．△ABC的頂點(diǎn)的極坐標(biāo)為A（4，$\frac{4π}{3}$）、B（6，$\frac{5π}{6}$）、C（8，$\frac{7π}{6}$）．
（1）判斷△ABC的形狀；
（2）求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，可得直角坐標(biāo)；
（2）由（1）可得：cosC=$\frac{\frac{1}{2}AC}{BC}$，sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$．可得S_△ABC=$\frac{1}{2}CB•CA$•sinA．

解答 解：（1）由A（4，$\frac{4π}{3}$）、B（6，$\frac{5π}{6}$）、C（8，$\frac{7π}{6}$），利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，可得直角坐標(biāo)A（-2，-2$\sqrt{3}$），B（-3$\sqrt{3}$，3），C（-4$\sqrt{3}$，-4）．
AB=$\sqrt{（-2+3\sqrt{3}）^{2}+（3+2\sqrt{3}）^{2}}$=2$\sqrt{13}$，AC=$\sqrt{80-32\sqrt{3}}$，BC=2$\sqrt{13}$．∴△ABC是等腰三角形．
（2）由（1）可得：cosC=$\frac{\frac{1}{2}AC}{BC}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{13}}$，∴sinC=$\sqrt{1-co{s}^{2}C}$=$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{13}}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}CB•CA$•sinA=$\frac{1}{2}×2\sqrt{13}×4\sqrt{5}$×$\frac{\sqrt{8}}{\sqrt{13}}$=$8\sqrt{10}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角形的面積計(jì)算公式、兩點(diǎn)之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．