Question

5．已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ，a_n+1=$\frac{2}{3}{a_n}$+n-4，b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），其中λ為實數(shù)，n為正整數(shù)．
（1）當a₃=0時，求λ的值；
（2）試判斷數(shù)列{b_n}是否為等比數(shù)列，并證明你的結論；
（3）設0＜a＜b，S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，是否存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜S_n＜b？若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據遞推式計算a₃，令a₃=0解出λ；
（2）計算b_n+1，討論b₁是否為0得出結論；
（3）求出S_n，令a＜S_n＜b，得出$\frac{a}{1-（-\frac{2}{3}）^{n}}$＜-$\frac{3}{5}$（λ+18）＜$\frac{1-（-\frac{2}{3}）^{n}}$，從而得出-$\frac{3}{5}$（λ+18）的范圍，即可得出λ的范圍．

解答 解：（1）∵a₁=λ，a_n+1=$\frac{2}{3}{a_n}$+n-4，
∴a₂=$\frac{2}{3}λ$-3，a₃=$\frac{2}{3}$（$\frac{2}{3}$λ-3）-2=$\frac{4}{9}$λ-4，
∵a₃=0，∴λ=9．
（2）∵b_n=（-1）ⁿ（a_n-3n+21），∴b_n+1=（-1）ⁿ⁺¹（a_n+1-3n+18）=（-1）ⁿ⁺¹（$\frac{2}{3}$a_n-2n+14），
若a₁-3+21=0，即λ=-18時，b₁=b₂=b₃=…=b_n=0，此時{b_n}不是等比數(shù)列；
若a₁-3+21≠0，即λ≠-18時，$\frac{_{n+1}}{_{n}}$=-$\frac{2}{3}$，此時{b_n}是等比數(shù)列．
綜上，當λ=-18時，{b_n}不是等比數(shù)列；
當λ≠-18時，{b_n}是等比數(shù)列．
（3）由（2）可知當λ=-18時，b_n=0，∴S_n=0，不符合題意；
當λ≠-18時，{b_n}為等比數(shù)列，公比q=-$\frac{2}{3}$，b₁=-λ-18，
∴S_n=$\frac{（-λ-18）（1-（-\frac{2}{3}）^{n}）}{1+\frac{2}{3}}$=-$\frac{3}{5}$（λ+18）[1-（-$\frac{2}{3}$）ⁿ]，
∴a＜-$\frac{3}{5}$（λ+18）[1-（-$\frac{2}{3}$）ⁿ]＜b，即$\frac{a}{1-（-\frac{2}{3}）^{n}}$＜-$\frac{3}{5}$（λ+18）＜$\frac{1-（-\frac{2}{3}）^{n}}$，
令f（n）=1-（-$\frac{2}{3}$）ⁿ，
當n為正奇數(shù)時，1＜f（n）≤$\frac{5}{3}$；當n為正偶數(shù)時$\frac{5}{9}$≤f（n）＜1，
∴f（n）的最大值為f（1）=$\frac{5}{3}$，f（n）的最小值為f（2）=$\frac{5}{9}$，
∴$\frac{9}{5}$a＜f（n）＜$\frac{3}{5}$b，解得-18-b＜λ＜-3a-18．
若-b-18≥-3a-18，即b≤3a時，不存在實數(shù)λ滿足題目要求；
當b＞3a存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜S_n＜b，且λ的取值范圍是（-b-18，-3a-18）．
綜上，當b＞3a時，存在實數(shù)λ，使得對任意正整數(shù)n，都有a＜S_n＜b，λ的取值范圍是（-b-18，-3a-18）．

點評 本題主要考查等比數(shù)列的定義、數(shù)列求和、不等式等基礎知識和分類討論的思想，考查綜合分析問題的能力和推理認證能力，屬于難題．