Question

20．定義在（-1，1]上的函數(shù)f（x）滿足f（x）+1=$\frac{1}{f（x+1）}$，當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）=x，若函數(shù)g（x）=|f（x）-$\frac{1}{2}$|-mx-m+1在（-1，1]內(nèi)恰有3個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{3}{2}$，+∞）
• B． （$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{8}$）
• C． （$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{16}$）
• D． （$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{4}$）

Answer 1

分析 由題意求出當(dāng)x∈[-1，0）時的f（x），把函數(shù)g（x）=|f（x）-$\frac{1}{2}$|-mx-m+1在（-1，1]內(nèi)恰有3個零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=|f（x）-$\frac{1}{2}$|與y=mx+m-1的圖象有三個不同交點(diǎn)．?dāng)?shù)形結(jié)合得答案．

解答 解：當(dāng)x∈（-1，0）時，x+1∈（0，1），
f（x）=$\frac{1}{f（x+1）}$-1=$\frac{1}{x+1}$-1，
若函數(shù)g（x）=|f（x）-$\frac{1}{2}$|-mx-m+1在（-1，1]內(nèi)恰有3個零點(diǎn)，
即方程|f（x）-$\frac{1}{2}$|-mx-m+1=0在（-1，1]內(nèi)恰有3個根，
也就是函數(shù)y=|f（x）-$\frac{1}{2}$|與y=mx+m-1的圖象有三個不同交點(diǎn)．
作出函數(shù)圖形如圖：

由圖可知，過點(diǎn)（-1，-1）與點(diǎn)（$-\frac{1}{3}$，0）的直線的斜率為$\frac{3}{2}$；
過點(diǎn)（-1，1），且與曲線y=$\frac{1}{x+1}-1-\frac{1}{2}$=$\frac{-3x-1}{2（x+1）}$相切的切點(diǎn)為（x₀，y₀），
則$y′{|}_{x={x}_{0}}$=$\frac{-1}{（{x}_{0}+1）^{2}}$，
切線方程為y+$\frac{3{x}_{0}+1}{2（{x}_{0}+1）}=-\frac{1}{（{x}_{0}+1）^{2}}$（x-x₀），則切點(diǎn)為（$-\frac{1}{5}，-\frac{1}{4}$）．
∴切線的斜率為k=$\frac{1-\frac{1}{4}}{-1-（-\frac{1}{5}）}=-\frac{25}{16}$，由對稱性可知，過點(diǎn)（-1，-1）與曲線|f（x）-$\frac{1}{2}$|在（-1，0）上相切的切線的斜率為$\frac{25}{16}$．
∴使函數(shù)y=|f（x）-$\frac{1}{2}$|與y=mx+m-1的圖象有三個不同交點(diǎn)的m的取值范圍為（$\frac{3}{2}$，$\frac{25}{16}$）．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的零點(diǎn)判定定理，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，是中檔題．