Question

18．已知命題p：x²-ax-a+$\frac{5}{4}$≥0對任意的x∈R恒成立；命題q：關(guān)于x的不等式x²+2x+a＜0有實數(shù)解． 若命題“p∨q”為真命題，且“p∧q”為假命題，求實數(shù) a的取值范圍．

Answer 1

分析 若p為 真，則${△_1}={（{-a}）^2}-4（{\frac{5}{4}-a}）={a^2}+4a-5≤0$，解出a的范圍．若q為 真，不等式x²+2x+a＜0有解，△₂＞0，解得a范圍．由命題p∨q為真，p∧q為假，可得p，q，一真一假．

解答 解：若p為 真，則${△_1}={（{-a}）^2}-4（{\frac{5}{4}-a}）={a^2}+4a-5≤0$，解得-5≤a≤1．
若q為 真，不等式x²+2x+a＜0有解，△₂=4-4a＞0，解得a＜1．
∵命題p∨q為真，p∧q為假，∴p，q，一真一假．
（1）p真q假，則$\left\{\begin{array}{l}-5≤a≤1\\ a≥1\end{array}\right.$，∴a=1．
（2）若p假q真，則$\left\{\begin{array}{l}a＜-5或a＞1\\ a＜1\end{array}\right.$，∴a＜-5，
綜上，a的取值范圍是{a|a＜-5或a=1}．

點評 本題考查了不等式的解集與判別式的關(guān)系、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．