Question

在某社區(qū)舉辦的《119消防知識有獎(jiǎng)問答比賽》中，甲、乙、丙三人同時(shí)回答一道有關(guān)消防知識的問題，已知甲回答對這道題的概率是

3

4

，甲、丙兩人都回答錯(cuò)的概率是

1

12

，乙、丙兩人都回答對的概率是

1

4

．
（Ⅰ）求乙、丙兩人各自回答對這道題的概率．
（Ⅱ）求甲、乙、丙三人中只有乙回答對該題的概率．
（Ⅲ）記甲、乙、丙三人中答對該題的人數(shù)為隨機(jī)變量ξ，求隨機(jī)變量ξ的期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）記“甲回答對這道題”、“乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件A、B、C，則P（A）=

3

4

，且有

P( . A )•P( . C )= 1 12 P(B)P(C)= 1 4

，由此能求出乙、丙兩人各自回答對這道題的概率．
（2）由（1）知P（

.

A

）=1-P（A）=

1

4

，P(

.

C

)=1-P(C)=

1

3

，由此能求出甲、乙、丙三人中只有乙回答對該題的概率．
（3）ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的期望．

解答： （本題滿分14分）
解：（1）記“甲回答對這道題”、“乙回答對這道題”、“丙回答對這道題”分別為事件A、B、C，（1分）
則P（A）=

3

4

，且有

P( . A )•P( . C )= 1 12 P(B)P(C)= 1 4

，（3分）
即

[1-P(A)][1-P(C)]= 1 12 P(B)P(C)= 1 4

，
解得P（B）=

3

8

，P（C）=

2

3

．（5分）
（2）由（1）知P（

.

A

）=1-P（A）=

1

4

，P(

.

C

)=1-P(C)=

1

3

記甲、乙、丙三人中只有乙回答對該題為事件M，所以P(M)=

1

4

×

3

8

×

1

3

=

1

32

．（7分）
（3）ξ的可能取值為0，1，2，3，（8分）
P(ξ=0)=

1

4

×

5

8

×

1

3

=

5

96

，
P(ξ=1)=

3

4

×

5

8

×

1

3

+

1

4

×

3

8

×

1

3

+

1

4

×

5

8

×

2

3

=

28

96

，
P(ξ=2)=

3

4

×

3

8

×

1

3

+

3

4

×

5

8

×

2

3

+

1

4

×

3

8

×

2

3

=

45

96

，
P(ξ=3)=

3

4

×

3

8

×

2

3

=

18

96

（12分）
∴E(ξ)=0×

5

96

+1×

28

96

+2×

45

96

+3×

18

96

=

172

96

=

43

24

．（14分）

點(diǎn)評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型．