Question

若函數f（x）滿足下列兩個性質：
①f（x）在其定義域上是單調增函數或單調減函數；
②在f（x）的定義域內存在某個區(qū)間使得f（x）在[a，b]上的值域是[

1

2

a，

1

2

b]．則我們稱f（x）為“內含函數”．
（1）判斷函數f(x)=

x

是否為“內含函數”？若是，求出a、b，若不是，說明理由；
（2）若函數f(x)=

x-1

+t是“內含函數”，求實數t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據新定義“內含函數”，要滿足兩條：一是在其定義域上是單調函數，二是在定義域內存在某個區(qū)間[a，b]，且在此區(qū)間上的值域是[

1

2

a，

1

2

b]即可．
（2）若函數f(x)=

x-1

+t是“內含函數”，其定義域為[1，+∞），且在定義域上單調遞增，滿足第一條；只要t再滿足：存在區(qū)間[a，b]?[1，+∞），滿足g(a)=

1

2

a，g(b)=

1

2

b，即可．

解答：解：（1）∵函數y=

x

，其定義域為[0，+∞），∴函數y=

x

在區(qū)間[0，+∞）上是單調增函數．
設y=

x

在區(qū)間[a，b]上的值域是[

a

，

b

]．
由

a = 1 2 a b = 1 2 b

，解得

a=0 b=4

．
故函數y=

x

是“內含函數”，且a=0，b=4．
（2）設g（x）=

x-1

+t，其定義域為[1，+∞），且在定義域上單調遞增．
∵g（x）為“內含函數”，∴存在區(qū)間[a，b]?[1，+∞），滿足g(a)=

1

2

a，g(b)=

1

2

b．
即方程g(x)=

1

2

x在區(qū)間[1，+∞）內有兩個不等實根．
也即方程

x-1

+t=

1

2

x在區(qū)間[1，+∞）內有兩個不等實根，令

x-1

=m，則其可化為：
m+t=

1

2

(1+m2)，即方程m²-2m+（1-2t）=0有兩個非負的不等實根x₁、x₂．
∴

△=4-4(1-2t)＞0 x1+x2＞0 x1x2≥0

解得0＜t≤

1

2

．
∴實數t的取值范圍是0＜t≤

1

2

．

點評：充分理解新定義是進行判斷的前提．其關鍵是看在定義域內方程f（x）=

1

2

x是否存在兩個不等的實數根．