設函數(shù)f（x）=數(shù)學公式在[1，+∞）上為增函數(shù)．
（1）求正實數(shù)a的取值范圍；
（2）若a=1，求證：數(shù)學公式（n∈N*且n≥2）．

解：（1）由已知：f'（x）=．
依題意得：≥0對x∈[1，+∞）恒成立．
∴ax-1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，∴a-1≥0，即：a≥1．
故正實數(shù)a的取值范圍為[1，+∞）．
（2）∵a=1，∴由（1）知：f（x）=在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴n≥2時：f（）=，
即：…． （9分）
∴．
設g（x）=lnx-x，x∈[1，+∞），則對x∈[1，+∞）恒成立，
∴g′（x）在[1+∞）為減函數(shù)．
∴n≥2時：g（）=ln-＜g（1）=-1＜0，
即：ln＜=1+ （n≥2）．
∴l(xiāng)nn=，
綜上所證：（n∈N*且≥2）成立．
分析：（1）由已知可得f'（x）=≥0對x∈[1，+∞）恒成立，即ax-1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，可得a-1≥0，從而
求得正實數(shù)a的取值范圍．
（2）根據n≥2時：f（）＞f（1）=0，可得，從而得到 ＜lnn；設g（x）=
lnx-x，x∈[1，+∞），則對x∈[1，+∞）恒成立，故 n≥2時，由g（）＜g（1）=-1＜0，得
ln＜1+，由此利用放縮法證得lnn＜，從而證得不等式成立．
點評：本題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，用放縮法證明不等式，將式子進行恰當?shù)姆趴s，是解題的難點．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）定義在（0，+∞）上，f（1）=0，導函數(shù)f′（x）=
1
x
，g（x）=f（x）+f′（x）．
（Ⅰ）求g（x）的單調區(qū)間和最小值；
（Ⅱ）討論g（x）與g(
1
x
)的大小關系；
（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）-g（x0）|＜
1
x
對任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范圍；若不存在請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知下列命題：
①若f（x）為減函數(shù)，則-f（x）為增函數(shù)；
②若f（0）＜f（4），則函數(shù)f（x）不是R上的減函數(shù)；
③若函數(shù)f（x）的定義域為[0，2]，則函數(shù)f（2x）的定義域為[0，4]；
④設函數(shù)f（x）是在區(qū)間[a，b]上圖象連續(xù)的函數(shù)，且f（a）•f（b）＜0，則方程f（x）=0在區(qū)間[a，b]上至少有一實根．
⑤若函數(shù)f(x)=
(2-m)x+2m(x＜1)
(m-1)|x+1|(x≥1)
在R上是增函數(shù)，則m的取值范圍是1＜m＜2；
其中正確命題的序號有
①②④
①②④
（把所有正確命題的番號都填上）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=logax在區(qū)間[a，2a]上的最大值與最小值之差為
1
2
，則a=
4或
1
4
4或
1
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）定義在實數(shù)集上，當x≥1時，f（x）=3x-1，且f（x+1）是偶函數(shù)，則有（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)設函數(shù)f（x）定義在（0，+∞）上，f（1）=0，導函數(shù)f′(x)=
1
x
，g（x）=f（x）+f'（x）．
（1）求g（x）的單調區(qū)間和最小值；
（2）討論g（x）與g(
1
x
)的大小關系；
（3）是否存在x0＞0，使得|g(x)-g(x0)|＜
1
x
對任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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