Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n=n-a_n，n∈N^*．
（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）設(shè)c_n=-2na_n+2n，數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n，求證：T_n＜4．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵n=1時，S₁=1-a₁，即a₁=1-a₁，a₁=．
∵S_n=n-a_n，∴S_n-1=n-1-a_n-1，n＞1．
兩式相減，得a_n=a_n-1+．…（3分）
a_n-1=（a_n-1-1）．
從而{a_n-1}為等比數(shù)列，首項a₁-1=-，公比為．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n-1=．從而a_n=．…（8分）
∵c_n=-2na_n+2n，∴=，
∴．…（10分）
從而，
兩式相減，得．
-=．
∴T_n＜4．…（13分）
分析：（Ⅰ）求出a₁，然后利用a_n=S_n-S_n-1得到a_n與a_n-1的關(guān)系，化簡為數(shù)列{a_n-1}中任意相鄰兩項之間的關(guān)系，通過等比數(shù)列的定義證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（Ⅱ）通過（Ⅰ）求出數(shù)列的通項公式，結(jié)合c_n=-2na_n+2n，求出數(shù)列{c_n}的前n項和為T_n的表達式，利用錯位相減法求出數(shù)列的前n項和，即可求證：T_n＜4．
點評：證明數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，常用數(shù)列的定義證明，在第二問中，錯位相減法是數(shù)列求和的常用方法，注意構(gòu)造法在數(shù)列中的應(yīng)用．