如圖,正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中點,AA1=AB=a
(Ⅰ)求證:AD⊥B1D;
(Ⅱ)求證:A1C∥平面AB1D;
(Ⅲ)求三棱錐C-AB1D的體積.
考點:棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定
專題:綜合題,空間位置關(guān)系與距離
分析:(Ⅰ)在正三棱柱中,易證明BB1⊥平面ABC及AD⊥BD,根據(jù)三垂線定理可知:AD⊥B1D
(Ⅱ)根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知,只要在平面AB1D里面找到一條直線與A1C平行即可,因為D為BC中點,所以構(gòu)造平行線的時候可以考慮一下構(gòu)造“中位線”,連接A1B,設(shè)A1B∩AB1=E,連接DE,所以DE∥A1C.
(Ⅲ)利用VC-AB1D=VB1-ADC,即可求三棱錐C-AB1D的體積.
解答: (Ⅰ)證明:∵ABC-A1B1C1是正三棱柱,
∴BB1⊥平面ABC,
∴BD是B1D在平面ABC上的射影
在正△ABC中,∵D是BC的中點,
∴AD⊥BD,
根據(jù)三垂線定理得,AD⊥B1D.
(Ⅱ)證明:連接A1B,設(shè)A1B∩AB1=E,連接DE.
∵AA1=AB∴四邊形A1ABB1是正方形,
∴E是A1B的中點,
又D是BC的中點,
∴DE∥A1C.(7分)
∵DE?平面AB1D,A1C?平面AB1D,
∴A1C∥平面AB1D.(9分)
(Ⅲ)解:由圖知VC-AB1D=VB1-ADC,AA1=AB=a,
VC-AB1D=VB1-ADC=
1
3
S△ADCBB1=
3
24
a3
點評:本題考查空間垂直關(guān)系、平行關(guān)系的證明,考查三棱錐體積的計算.解題時要認(rèn)真審題,注意合理地化空間問題為平面問題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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若集合A={x|3x-7≥8-2x},B={x|2≤x<4},則A∩B=( 。
A、{x|x≥3}
B、{x|3≤x<4}
C、{x|2≤x<4}
D、∅

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知△ABC的面積為S,且
AB
BC
=1,若
1
2
<S<
3
2
,則∠ABC的范圍是( 。
A、(
π
6
,
π
3
B、(
π
4
,
π
3
C、(
3
,
6
D、(
3
,
4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

若直線l與平面α相交但不垂直,則(  )
A、α內(nèi)存在直線與l平行
B、α內(nèi)不存在與l垂直的直線
C、過l的平面與α不垂直
D、過l的平面與α不平行

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知f(x)=log2(x-2),若實數(shù)m,n滿足f(m)+f(2n)=3,則m+n的最小值是( 。
A、7B、5C、3D、4

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

在四棱錐V-ABCD中,底面ABCD是邊長為2的正方形,側(cè)面VAD是正三角形,平面VAD⊥底面ABCD.點P、H分別是線段VC、AD的中點.
(Ⅰ)求證:AV∥平面PBD;   
(Ⅱ)求證:VH⊥面ABCD
(Ⅲ)求三棱錐C-PBD的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,頂點A1在底面ABC上的射影恰為點B,且AB=AC=A1B=2.
(1)求證:A1C1⊥平面AA1B1B;
(2)若P為線段B1C1的中點,求四棱錐P-AA1B1B的體積.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)函數(shù)f(x)=mlnx,h(x)=x-a.
(Ⅰ)當(dāng)a=0時,f(x)≤h(x)在(1,+∞)上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍;
(Ⅱ)當(dāng)m=2時,若函數(shù)k(x)=f(x)-h(x)在[1,3]上恰有兩個不同零點,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)證明:當(dāng)n≥2,n∈N*時,log2e+log3e+log4e+…+logne>
3n2-n-2
2n(n+1)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知命題p:曲線
x2
a-1
+
y2
5-a
=1為焦點在x軸上的橢圓;命題q:函數(shù)f(x)=x2-ax+9在R上取值恒為正;若命題“p或q”為真,命題“p且q”為假,求實數(shù)a的取值范圍.

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同步練習(xí)冊答案