考點:棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定
專題:綜合題,空間位置關(guān)系與距離
分析:(Ⅰ)在正三棱柱中,易證明BB1⊥平面ABC及AD⊥BD,根據(jù)三垂線定理可知:AD⊥B1D
(Ⅱ)根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知,只要在平面AB1D里面找到一條直線與A1C平行即可,因為D為BC中點,所以構(gòu)造平行線的時候可以考慮一下構(gòu)造“中位線”,連接A1B,設(shè)A1B∩AB1=E,連接DE,所以DE∥A1C.
(Ⅲ)利用VC-AB1D=VB1-ADC,即可求三棱錐C-AB1D的體積.
解答:
(Ⅰ)證明:∵ABC-A
1B
1C
1是正三棱柱,
∴BB
1⊥平面ABC,
∴BD是B
1D在平面ABC上的射影
在正△ABC中,∵D是BC的中點,
∴AD⊥BD,
根據(jù)三垂線定理得,AD⊥B
1D.
(Ⅱ)證明:連接A
1B,設(shè)A
1B∩AB
1=E,連接DE.
∵AA
1=AB∴四邊形A
1ABB
1是正方形,
∴E是A
1B的中點,
又D是BC的中點,
∴DE∥A
1C.(7分)
∵DE?平面AB
1D,A
1C?平面AB
1D,
∴A
1C∥平面AB
1D.(9分)
(Ⅲ)解:由圖知
VC-AB1D=VB1-ADC,AA
1=AB=a,
∴
VC-AB1D=VB1-ADC=
S
△ADCBB
1=
a3.
點評:本題考查空間垂直關(guān)系、平行關(guān)系的證明,考查三棱錐體積的計算.解題時要認(rèn)真審題,注意合理地化空間問題為平面問題.