Question

對(duì)于函數(shù)f（x），若存在x₀∈R，使f（x₀）=x₀成立，則稱x₀為函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)，已知f（x）=ax²+（b+1）x+（b-1）（a≠0）
（1）當(dāng)a=1，b=-2求函數(shù)f（x）的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)相異不動(dòng)點(diǎn)，求a的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，令g(x)=

1

x+2

+loga 

1+x

1-x

，解關(guān)于x的不等式g[x(x-

1

2

)]＜

1

2

．

Answer 1

分析：（1）將a=1，b=-2代入f（x）=ax2+（b+1）x+b-1 （a≠0），求出f（x），令f（x）=x，解方程求不動(dòng)點(diǎn)即可；
（2）由ax²+（b+1）x+b-1=x有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，即ax²+bx+b-1=0有兩個(gè)不等實(shí)根，可通過(guò)判別式大于0得到關(guān)于參數(shù)a，b的不等式b²-4ab+4a＞0，由于此不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為16a²-16a＜0即可．
（3）先證明g（x）在定義域（-1，1）上遞減，再利用函數(shù)的單調(diào)性，將不等式轉(zhuǎn)化為具體不等式組，從而得解．

解答：解：（1）當(dāng)a=1，b=-2時(shí)，
ax²+（b+1）x+（b-1）=x可化為x²-x-3=x
∴x²-2x-3=0
∴x=3或-1
∴所求的不動(dòng)點(diǎn)為-1或3．
（2）對(duì)任意實(shí)數(shù)b，函數(shù)f（x）恒有兩個(gè)相異不動(dòng)點(diǎn)，即ax²+bx+（b-1）=0有兩個(gè)不等實(shí)根
∴△₁＞0，即b²-4ab+4a＞0對(duì)任意b∈R恒成立
∴△₂=16a²-16a＜0
∴0＜a＜1
（3）g′(x)=-

1

(x+2)2

+

2

(1+x)(1-x)lna

∵

1+x

1-x

＞0，
∴-1＜x＜1
∴（1+x）（1-x）＞0
∵0＜a＜1
∴l(xiāng)na＜0
∴g′（x）＜0
∴g（x）在定義域（-1，1）上遞減，
∵g(0)=

1

2

∴g[x(x-

1

2

)]＜

1

2

可化為g[x(x-

1

2

)]＜g(0)
∴

-1＜x(x- 1 2 )＜1 x(x- 1 2 )＞0

∴{x|

1- 17

4

＜x＜0或

1

2

＜x＜

1+ 17

4

}

點(diǎn)評(píng)：本題考點(diǎn)是函數(shù)恒成立問(wèn)題，考查新定義，考查函數(shù)的單調(diào)性考查二次函數(shù)、方程的基本性質(zhì)、不等式的有關(guān)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解．