Question

【題目】如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD，AB＝AD，E是線段PD上的點(diǎn)，F是線段AB上的點(diǎn)，

且．

(1)證明：EF∥平面PBC；

(2)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得異面直線EF與CD所成角為60°？若存在，試求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）見證明；（2）見解析

【解析】

（1）作EH∥AD交PA于點(diǎn)H，連接HF，結(jié)合，可以證明FH∥PB，從而可以證明平面EFH∥平面PBC，進(jìn)而得到EF∥平面PBC；（2）異面直線EF與CD所成角為60°，可知，則，再用λ分別表示出與，代入即可求出λ.

(1)作EH∥AD交PA于點(diǎn)H，連接HF，

∵EH∥AD，∴.

又∵，

∴，

∴FH∥PB.

又∵EH∥AD，FH∩HE＝H，

∴平面EFH∥平面PBC.

∵EF在平面EFH內(nèi)，∴EF∥平面PBC.

(2)存在實(shí)數(shù)，使得異面直線EF與CD所成角為60°.

其理由如下：假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，使得異面直線EF與CD所成角為60°，

∵AB∥CD，∴∠AFE為異面直線EF與CD所成角，

∴.

過點(diǎn)E作EQ⊥AD交AD于點(diǎn)Q，連接FQ，

∵PA＝AD，AB＝AD，∴設(shè)AD＝1，

又∵，

可知，，，

∵，

∵，

∴中，，

∴，∴.

∴存在實(shí)數(shù)，使得異面直線EF與CD所成角為60°