Question

已知橢圓，過(guò)左焦點(diǎn)作不垂直與X軸的弦交于橢圓于A．B兩點(diǎn)，AB的垂直平分線交X軸于M點(diǎn)，則|MF|：|AB|的值為

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

B
分析：因?yàn)閨MF|：|AB|的值為常數(shù)，因此采用特殊的直線AB的位置求|MF|：|AB|的值．不妨設(shè)直線AB的斜率為1，得直線AB的方程為y=x+2，與橢圓方程消去y得關(guān)于x的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長(zhǎng)公式分別算出|MF|、|AB|的大小，從而得到直線AB的斜率為1時(shí)的|MF|：|AB|值，由此即可得到本題的答案．
解答：因?yàn)閨MF|：|AB|的值為常數(shù)，與直線AB的方向無(wú)關(guān)，所以考慮取特殊位置求|MF|：|AB|的值．
取直線的斜率為1，左焦點(diǎn)為F（-2，0）
∴直線AB的方程為y=x+2，聯(lián)立方程組
消去y，整理得14x²+36x-9=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由根與系數(shù)的關(guān)系，得x₁+x₂=-，x₁x₂=-，
代入直線方程，可得y₁+y₂=（x₁+2）+（x₂+2）=，
∴AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（-，），則AB的中垂線方程為y-=-（x+），
令y=0，得x=-，∴點(diǎn)N的坐標(biāo)（-，0）．
∴|NF|==，|AB|==
因此，|MF|：|AB|的值為：=
故選：B
點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓焦點(diǎn)弦的垂直平分線，求垂直平分線與x軸交點(diǎn)與焦點(diǎn)距離跟弦長(zhǎng)AB的比值，著重考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．