Question

已知定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（

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x2

）=f（x₁）-f（x₂），且當0＜x＜1時，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；   
（2）判斷f（x）的單調(diào)性；
（3）若f（2）=1，解不等式f（|x|+1）＜2．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)恒等式f（

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）=f（x₁）-f（x₂），賦值x₁=x₂=1，即可求得f（1）的值； 
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，利用恒等式可得f（x₁）-f（x₂）=f（

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），再根據(jù)當0＜x＜1時，f（x）＜0，即可得f（x₁）-f（x₂）＜0，從而根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，判斷出函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（3）根據(jù)恒等式f（

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）=f（x₁）-f（x₂），賦值x₁=4，x₂=2，即可求得2=f（4），將不等式f（|x|+1）＜2等價轉(zhuǎn)化為f（|x|+1）＜f（4），根據(jù)（2）中的結(jié)論可得f（x）的單調(diào)性，利用單調(diào)性去掉“f”，即可得不等式|x|+1＜4，求解不等式可得到不等式f（|x|+1）＜2的解集．

解答：解：（1）∵定義在區(qū)間（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足f（

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）=f（x₁）-f（x₂），
∴令x₁=x₂=1，則f（1）=f（1）-f（1）=0，即f（1）=0；
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，則0＜

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＜1，
∵f（x₁）-f（x₂）=f（

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），且當0＜x＜1時，f（x）＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）=f（

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）＜0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）令x₁=4，x₂=2，代入f（

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）=f（x₁）-f（x₂），
可得f（2）=f（4）-f（2），
又∵f（2）=1，
∴f（4）=2，
∴不等式f（|x|+1）＜2可轉(zhuǎn)化成不等式f（|x|+1）＜f（4），
由（2）可知函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
∴|x|+1＜4，即|x|＜3，而x＞0，
∴0＜x＜3，
∴不等式f（|x|+1）＜2得解集為{x|0＜x＜3}．

點評：本題主要考查了利用賦值法求解抽象函數(shù)的函數(shù)值，及利用函數(shù)的單調(diào)性求解不等式，同時考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，注意一般單調(diào)性的證明選用定義法證明，證明的步驟是：設(shè)值，作差，化簡，定號，下結(jié)論．解題的關(guān)鍵是將不等式進行合理的轉(zhuǎn)化，然后利用單調(diào)性去掉“f”．考查了函數(shù)知識的綜合應(yīng)用．屬于中檔題．