Question

6．已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1的定義域為[a，b]，值域為$[{-\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$，則b-a的值不可能是（　　）

• A． $\frac{5π}{12}$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{7π}{12}$
• D． π

Answer 1

分析 利用輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，根據(jù)正弦函數(shù)在一個區(qū)間上單調性，建立關系，求解b-a的范圍即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1，
化簡可得：f（x）=2sinxcosx-2cos²x+1=sin2x-cos2x=$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）
定義域為[a，b]，即x∈[a，b]，
∴2x-$\frac{π}{4}$∈[2a$-\frac{π}{4}$，2b$-\frac{π}{4}$]
又∵值域為$[{-\sqrt{2}，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}]$，即$-\sqrt{2}$≤$\sqrt{2}$sin（2x-$\frac{π}{4}$）$≤\frac{\sqrt{2}}{2}$
∴-1≤sin（2x-$\frac{π}{4}$）≤$\frac{1}{2}$
在正弦函數(shù)y=sinx的一個周期內，要滿足上式，
則$-\frac{π}{2}≤$2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{6}$
∴（b-a）_max=$\frac{π}{6}-（\frac{π}{2}）$=$\frac{2π}{3}$，
∴b-a的值不可能為π．
故選D．

點評 本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，突出考查正弦函數(shù)的單調性，在正弦函數(shù)y=sinx的一個周期內，要滿足$-\frac{π}{2}≤$2x-$\frac{π}{4}$≤$\frac{π}{6}$解得范圍是關鍵，也是難點，考查分析與思維能力，屬于難題．