Question

18．設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₁a₂a₃=8，S_2n=3（a₁+a₃+a₅+…+a_2n-1）（n∈N*）
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=nS_n，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可求出a₂的值，然后根據(jù)S_2n=3（a₁+a₃+…+a_2n-1）中令n=1可求出首項a₁，從而求出公比，即可求出a_n的通項公式，
（Ⅱ）先根據(jù)等比數(shù)列的求和公式求出S_n，再求出b_n=nS_n，根據(jù)分組求和和錯位相減法求和即可．

解答 解：（Ⅰ）利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得，a₁a₂a₃=a₂³=8 即a₂=2
∵S_2n=3（a₁+a₃+…+a_2n-1）
∴n=1時有，S₂=a₁+a₂=3a₁從而可得a₁=1，q=2，
∴a_n=2^n-1，
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得S_n=$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$=-1+2ⁿ，
∴b_n=nS_n=-n+n•2ⁿ，
∴T_n=-（1+2+3+…+n）+1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
設(shè)A_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ，
∴2A_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
兩式相減可得-A_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$-n•2ⁿ⁺¹=-2+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹=-2+（1-n）2ⁿ⁺¹，
∴A_n=2+（n-1）2ⁿ⁺¹，
∴T_n=-$\frac{n（n+1）}{2}$+2+（n-1）2ⁿ⁺¹．

點評 本題主要考查了等比數(shù)列的前n項和以及錯位相減法求和，以及等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，屬于中檔題．