Question

設(shè)分別為橢圓的左、右頂點(diǎn)，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準(zhǔn)線．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)為右準(zhǔn)線上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線分別與橢圓相交于異于的點(diǎn)，證明點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi)．
（此題不要求在答題卡上畫圖）
 

Answer 1

（I）依題意得解得 從而b=,………………………………………3分
故橢圓方程為．……………………………………………………………………4分
（II）解法1：由（I）得A（-2，0），B（2，0），設(shè)．
點(diǎn)在橢圓上，．………………………………………………………        5分
又點(diǎn)異于頂點(diǎn)
由三點(diǎn)共線可得，…………………………………………………………………6分
從而．……………………………………………………………7分
，………………………………………………10分
將①式代入②式化簡得．…………………………………………………………12分
>0,>0.于是為銳角,從而為鈍角,
故點(diǎn)在以為直徑的圓內(nèi).………………………………………………………………………. 14分
解法2：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)P（4，）（0），M（，），N（，），則直線AP的方程為，直線BP的方程為．…………………………….. 6分
點(diǎn)M、N分別在直線AP、BP上，
＝（＋2），＝（－2）.從而＝（＋2）（－2）.③
聯(lián)立消去y得（27＋）＋4x＋4（－27）＝0………………8分
，－2是方程得兩根，（－2）．，即＝. ④
又．=（－2, ）．(－2,)＝（－2）（－2）＋.  ⑤………9分
于是由③、④式代入⑤式化簡可得
．＝（－2）…………………………………………………………     12分
N點(diǎn)在橢圓上，且異于頂點(diǎn)A、B，<0.
又，> 0, 從而．<0.
故為鈍角，即點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)………………………………14分
解法3：由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.設(shè)M（，），N（，），則－2<<2 , －2<<2.又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（），………………………………………5分

化簡得－＝（－2）（－2）＋.            ⑥………………8分
直線AP的方程為，直線BP的方程為………………10分
點(diǎn)P在準(zhǔn)線x＝4上，
，即.                      ⑦
又M點(diǎn)在橢圓上，＋＝1，即         ⑧……… 12分
于是將⑦、⑧式化簡可得－＝.
從而B在以MN為直徑的圓內(nèi)…………………………………………………………………      14分