Question

如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，延長CD至E，使得DE=2CD．動點P從點A出發(fā)，沿正方形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，

AP

=λ

AB

+μ

AE

．則λ+μ的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應用

分析：分別討論點P在線段AB，BC，CD，DA上，利用共線向量基本定理用向量

AB

，

AE

來表示向量

AP

．在這一過程可以出現(xiàn)參數(shù)k，并且知道k的取值范圍，所以根據(jù)平面向量基本定理可用k表示λ+μ，由k的范圍從而求出λ+μ的范圍，對在這四種情況下求得的λ+μ的范圍求并集即可．

解答： 解：①當P點在線段AB上時，

AP

=λ

AB

，0≤λ≤1；
∴0≤λ+μ≤1；
②當P點在線段BC上時，∵

AD

=

AE

+

ED

=

AE

+2

AB

；
∴

AP

=

AB

+

BP

=

AB

+k

AD

=（1+2k）

AB

+k

AE

，0＜k≤1；
∴λ+μ=1+2k+k=1+3k，1＜1+3k≤4；
∴1＜λ+μ≤4；
③當P在線段CD上時，

AP

=

AD

+

DP

=

AE

+2

AB

+k

AB

=(2+k)

AB

+

AE

，0＜k≤1；
∴λ+μ=3+k，3＜k≤4；
∴3＜λ+μ≤4；
④當P在線段AD上時，

AP

=k

AD

=k

AE

+2k

AB

，0＜k＜1；
∴λ+μ=3k，0＜3k＜3；
∴0＜λ+μ＜3；
∴綜上得0≤λ+μ≤4；
∴λ+μ的取值范圍為[0，4]．
故答案為[0，4]．

點評：考查向量的加法，以及共線向量基本定理，平面向量基本定理．