Question

14、如圖，在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCD中，AB⊥AC，PA⊥面ABCD，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥PB；
（2）求證PB∥平面AEC．

Answer 1

分析：（1）欲證AC⊥PB，可先證AC⊥面PAB，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證AC與面PAB內(nèi)兩相交直線垂直，根據(jù)PA⊥面ABCD，AC?面ABCD，可得PA⊥AC，又因AB⊥AC，PA∩AC=A，PA?面PAB，AB?面PAB，滿足定理所需條件；
（2）欲證PB∥面AEC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證PB與面AEC內(nèi)一直線平行即可，連接BD交AC于點(diǎn)O，并連接EO，根據(jù)中位線可知EO∥PB，PB?面AEC，EO?面AEC滿足定理所需條件．

解答：證明：（1）∵PA⊥面ABCD，AC?面ABCD，∴PA⊥AC（2分）
又∵AB⊥AC，PA∩AC=A，PA?面PAB，AB?面PAB
∴AC⊥面PAB∴AC⊥PB（7分）
（2）連接BD交AC于點(diǎn)O，并連接EO，
∵四邊形ABCD為平行四邊形
∴O為BD的中點(diǎn)又∵E為PD的中點(diǎn)
∴在△PDB中EO為中位線，EO∥PB
∵PB?面AEC，EO?面AEC∴PB∥面AEC．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了空間兩直線的位置關(guān)系，以及直線與平面平行的判定等有關(guān)知識(shí)，考查學(xué)生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．