Question

圓x²+y²=1與x，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點．
（Ⅰ）求AB所在的直線方程；
（Ⅱ）過點A做兩條互相垂直的直線分別與圓交于P，Q兩點，試求△PAQ面積的最大值，并指出此時PQ所在的直線方程．

Answer 1

分析：（I）由已知圓x²+y²=1與x，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點，我們易求出A，B兩個點的坐標，代入兩點式方程，整理后即可得到AB所在的直線方程；
（Ⅱ）解法一：由題可知直線AP，AQ的斜率都存在，且不能為0，分別設AP的斜率為k，則AQ的斜率為-

1

k

，則我們易求出AP及AQ的長（含參數(shù)k），代入三角形面積公式，利用基本不等式式，即可得到答案．
解法二：若∠PAQ始終為直角，則PQ必為圓的直徑，當A點距離PQ最遠時，即△PAQ為等腰直角三角形時，△PAQ面積最大．

解答：解：（I）由題可知A（1，0），B（0，1）…（1分），所以AB所在的直線方程y=-x+1…（3分）
（II）解法1：由題可知直線AP，AQ的斜率都存在，且不能為0，…（4分）
設AP的斜率為k，則AQ的斜率為-

1

k

，AP的直線方程為kx-y-k=0
所以do-AP=

|k|

k2+1

，從而：|AP|=2

1- d 2 O-AP

=

2

k2+1

…（6分）
同理得：|AQ|=

2|k|

k2+1

，所以S△APQ=

1

2

|AP|•|AQ|=2

|k|

k2+1

=

2

|k|+ 1 |k|

≤1…（8分）
（當且僅當k=±1時等號成立）
所以△PAQ面積的最大值為1，此時PQ的方程為x=0…（10分）
解法2：由題可知∠PAQ始終為直角，所以PQ必通過圓心，從而|PQ|=2
當A點距離PQ最遠時，即△PAQ為等腰直角三角形時，
△PAQ面積取最大值1
此時PQ的方程為x=0

點評：本題考查的知識點是直線和圓的方程的應用，直線的一般式方程，（1）的關鍵是求出A，B兩點的坐標，（2）的關鍵關鍵法一是寫出△PAQ面積的表達式，法二是得到PQ是圓的直徑．