Question

已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+c，當(dāng)x=-1，f（x）有極大值7；當(dāng)x=3時(shí)，f（x）有極小值．
（Ⅰ）求a，b，c的值．
（Ⅱ）設(shè)g（x）=f（x）-ax²，求g（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（Ⅰ）f'（x）=3x²+2ax+b，由題意得

f(-1)=7 f′(-1)=0 f′(3)=0

，由此能求出a，b，c的值．
（Ⅱ）、由（Ⅰ）得g（x）=x³-9x+2，于是g'（x）=3x²-9，由此能求出函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間．

解答：（本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）f'（x）=3x²+2ax+b
由題意得，

f(-1)=7 f′(-1)=0 f′(3)=0

，
∴

-1+a-b+c=7 3-2a+b=0 27+6a+b=0

，
解得a=-3，b=-9，c=2
（Ⅱ）由（Ⅰ）得g（x）=f（x）-ax²=x³-3x²-9x+2+3x²=x³-9x+2，
∴g'（x）=3x²-9，
當(dāng)g'（x）＞0時(shí)，
有3x2-9＞0⇒x＜-

3

或x＞

3

，
所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是(-∞，-

3

)和(

3

，+∞)
當(dāng)g'（x）＜0時(shí)，
有3x2-9＜0⇒-

3

＜x＜

3

所以函數(shù)g（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是(-

3

，

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，