Question

7．在四棱錐P-ABCD中，CD⊥平面PAD，AB∥CD，CD=AD=4AB=4，且AC⊥PA，M為線段CP上一點(diǎn)．
（1）求證：平面ACD⊥平面PAM；
（2）若PM=$\frac{1}{4}$PC且AP=$\frac{1}{2}$AD，求證：MB∥平面PAD，并求四棱錐M-ABCD的體積．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出CD⊥PA，AC⊥PA，從而PA⊥平面ACD，由此能證明平面ACD⊥平面PAM．
（2）過(guò)M作MN⊥平面PAD，交DP于N，連結(jié)AN，推導(dǎo)出四邊形ABMN是平行四邊形，從而B(niǎo)M∥AN，由此能證明MB∥平面PAD．以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AP為y軸，AB為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出四棱錐M-ABCD的體積．

解答 證明：（1）∵CD⊥平面PAD，PA?平面PAD，
∴CD⊥PA，
∵AC⊥PA，CD∩AC=C，
∴PA⊥平面ACD，
∵PA?平面PAM，∴平面ACD⊥平面PAM．
（2）過(guò)M作MN⊥平面PAD，交DP于N，連結(jié)AN，
∵CD⊥平面PAD，AB∥CD，CD=AD=4AB=4，且AC⊥PA，
M為線段CP上一點(diǎn)，PM=$\frac{1}{4}$PC且AP=$\frac{1}{2}$AD，
∴MN$\underset{∥}{=}$AB，∴四邊形ABMN是平行四邊形，
∴BM∥AN，
∵BM?平面PAD，AN?平面PAD，
∴MB∥平面PAD．
以A為原點(diǎn)，AD為x軸，AP為y軸，AB為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
C（4，0，4），P（0，2，0），M（1，$\frac{3}{2}$，1），
平面ABCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），$\overrightarrow{AM}$=（1，$\frac{3}{2}$，1），
M到平面ABCD的距離d=$\frac{|\overrightarrow{AM}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{3}{2}$，
S_梯形ABCD=$\frac{1}{2}（4+1）×4$=10，
∴四棱錐M-ABCD的體積V=$\frac{1}{3}×d×{S}_{梯形ABCD}$=$\frac{1}{3}×\frac{3}{2}×10$=5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查面面垂直的證明，考查線面平行的證明，考查四棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．