Question

下面的一組圖形為某一四棱錐S-ABCD的側(cè)面與底面．
（I）請(qǐng)畫(huà)出四棱錐S-ABCD的示意圖，是否存在一條側(cè)棱垂直于底面？如果存在，請(qǐng)給出證明；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)理理由；
（II）若E為AB中點(diǎn)，求證：平面SEC⊥平面SCD．

Answer 1

解：（I）存在一條側(cè)棱SA⊥平面ABCD，如圖所示．（注：其中圖正確給2分）（3分）
∵在△SAB中，SA⊥AB，在△SAD中，SA⊥AD
又∵AB∩AD=A，∴SA⊥平面ABCD．?

（II）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz．
取SC中點(diǎn)G，連接EG，SE，EC，
則A（0，0，0），B（a，0，0），C（a，a，0），D（0，a，0），S（0，0，a），，．
∵
∵，∴EG⊥CD（7分）
∵，∴EG⊥SC．
又∵SC∩CD=C，∴EG⊥平面SDC?，而EG?平面SEC
∴平面SEC⊥平面SCD
分析：（I）欲證SA⊥平面ABCD，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證SA與平面ABCD內(nèi)兩相交直線垂直，SA⊥AB，SA⊥AD，AB∩AD=A，滿足定理?xiàng)l件；
（II）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AD為y軸，AS為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，取SC中點(diǎn)G，連接EG，SE，EC，根據(jù)向量的數(shù)量積可知EG⊥CD，EG⊥SC，SC∩CD=C，滿足線面垂直的判定定理，從而EG⊥平面SDC，再根據(jù)面面垂直的判定定理可得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查平面與平面垂直的判定，以及二面角及其度量和空間向量等有關(guān)知識(shí)，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．