Question

已知正項數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，

a1

+

a2

+…+

an

=

1

2

（a_n+n），且

an

+

an-1

≠1．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求數(shù)列{

an

•2ⁿ}的前n項和．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）當(dāng)n≥2時，

a1

+

a2

+…+

an

=

1

2

（a_n+n），

a1

+

a2

+…+

an-1

=

1

2

（a_n-1+n-1），
兩式相減可得

an

=

1

2

an-

1

2

an-1+

1

2

，化為

an

-

an-1

=1．利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）

an

•2ⁿ=n•2ⁿ．再利用“錯位相減法”和等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）當(dāng)n≥2時，

a1

+

a2

+…+

an

=

1

2

（a_n+n），

a1

+

a2

+…+

an-1

=

1

2

（a_n-1+n-1），
∴

an

=

1

2

an-

1

2

an-1+

1

2

，
化為

an

-

an-1

=1．
∴數(shù)列{

an

}是等差數(shù)列，∴

an

=

a1

+（n-1）×1=n．
∴a_n=n²．
（2）

an

•2ⁿ=n•2ⁿ．
∴數(shù)列{

an

•2ⁿ}的前n項和S_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ．
∴2S_n=2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹．
兩式相減可得：-S_n=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2×(2n-1)

2-1

-n•2ⁿ⁺¹=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴Sn=(n-1)•2n+1+2．

點(diǎn)評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．