6．已知正實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a+b+c+d=1．
求證：$\sqrt{1+2a}$+$\sqrt{1+2b}$+$\sqrt{1+2c}$+$\sqrt{1+2d}$≤2$\sqrt{6}$．

分析 運(yùn)用分析法證明，要證原不等式成立，兩邊平方，結(jié)合柯西不等式即可得證．

解答 證明：運(yùn)用分析法證明．
要證$\sqrt{1+2a}$+$\sqrt{1+2b}$+$\sqrt{1+2c}$+$\sqrt{1+2d}$≤2$\sqrt{6}$，
由正實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a+b+c+d=1，
即證（$\sqrt{1+2a}$+$\sqrt{1+2b}$+$\sqrt{1+2c}$+$\sqrt{1+2d}$）2≤24，
即有（$\sqrt{1+2a}$+$\sqrt{1+2b}$+$\sqrt{1+2c}$+$\sqrt{1+2d}$）2≤4（1+2a+1+2b+1+2c+1+2d），
由柯西不等式可得，上式顯然成立．
則原不等式成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式的證明，注意運(yùn)用分析法和柯西不等式，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

19．已知復(fù)數(shù)z滿足|2z-i|=2，則|z+2i|的最小值是（　�。�
A．$\frac{1}{2}$B．$\frac{3}{2}$C．1D．2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

20．已知函數(shù)f（x）=log2（x+m），且2f（2）=f（0）+f（6）．
（1）求f（30）的值；
（2）若a，b，c是兩兩不相等的正數(shù)，且b2=ac，試判斷f（a）+f（c）與2f（b）的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

17．某食堂規(guī)定，每份午餐可以在四種水果中任選兩種，則甲、乙兩同學(xué)各自所選的兩種水果相同的概率為$\frac{1}{6}$．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：選擇題

1．老師帶甲乙丙丁四名學(xué)生去參加自主招生考試，考試結(jié)束后老師向四名學(xué)生了解考試情況，
四名學(xué)生回答如下：
甲說：“我們四人都沒考好”；             
乙說：“我們四人中有人考的好”；
丙說：“乙和丁至少有一人沒考好”；       
丁說：“我沒考好”．
結(jié)果，四名學(xué)生中有兩人說對(duì)了，則四名學(xué)生中（　�。� 兩人說對(duì)了．
A．甲 丙B．乙 丁C．丙 丁D．乙 丙

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

11．隨機(jī)將1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）這2n個(gè)連續(xù)正整數(shù)分成A，B兩組，每組n個(gè)數(shù)，A組最小數(shù)為a1，最大數(shù)為a2；B組最小數(shù)為b1，最大數(shù)為b2，記ξ=a2-a1，η=b2-b1．
（1）當(dāng)n=3時(shí)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）令C表示事件“ξ與η的取值恰好相等”，事件C發(fā)生的概率為p（C）．
①當(dāng)n=2時(shí)，求p（C）；
②當(dāng)n∈N*，n＞2時(shí)，求p（C）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

18．四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為菱形，且∠BAD=60°，Q，M分別為PA，BC的中點(diǎn)．
（1）證明：直線QM∥平面PCD；
（2）若二面角A-BD-Q所成角正切值為2，求直線QC與平面PAD所成角的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

15．己知曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=3cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），A、B是曲線C上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0
（1）求證：$\frac{1}{|OA{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OB{|}^{2}}$為定值．
（2）求$\overrightarrow{|AB|}$的最小值，并以直角坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，在此極坐標(biāo)系中，求AB所在直線的極坐標(biāo)方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

16．若?x，y∈（0，+∞），恒有$\frac{x}{2x+y}$$+\frac{y}{x+2y}$≤a≤$\frac{x}{x+2y}$$+\frac{y}{2x+y}$，則常數(shù)a=$\frac{2}{3}$．

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同步練習(xí)冊(cè)答案