Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點．
（ 1 ）證明：PA∥平面BDE．
（2）在棱PB上是否存在點F，使PB⊥平面DEF？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）連接AC、AC交BD于O．連接EO，因底面ABCD是正方形則點O是AC的中點，根據(jù)EO是中位線則PA∥EO，而EO?平面EDB且PA?平面EDB，根據(jù)線面平行的判定定理可知PA∥平面EDB；
（2）以D為坐標(biāo)原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，假設(shè)存在點F，則直線PB所在的向量與平面DEF的法向量平行，根據(jù)這個條件可得到一個方程，再根據(jù)有關(guān)知識判斷方程的解的情況．

解答：（1）證明：連接AC，AC交BD于O，連接EO
∵底面ABCD是正方形，∴點O是AC的中點．
在△PAC中，EO是中位線，∴PA∥EO
而EO?平面EDB且PA?平面EDB，∴PA∥平面EDB．
（2）解：以D為坐標(biāo)原點，分別以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PD=CD=2，則P（0，0，2），E（0，1，1），B（2，2，0），
∵

PB

=（2，2，-2），

DE

=（0，1，1），
∴

PB

•

DE

=0+2-2=0，∴PB⊥DE．
假設(shè)棱PB上存在點F，使PB⊥平面DEF，設(shè)

PF

=λ

PB

（0＜λ＜1），
則

PF

=（2λ，2λ，-2λ），

DF

=

DP

+

PF

=（2λ，2λ，2-2λ），
由

PF

•

DF

=0得4λ²+4λ²-2λ（2-2λ）=0，
∴λ=

1

3

∈（0，1），此時PF=

1

3

PB，
即在棱PB上存在點F，PF=

1

3

PB，使得PB⊥平面DEF．

點評：本題考查直線與平面平行、考查空間想象能力和推理論證能力，考查向量知識的運用，屬于中檔題．