Question

15．已知函數(shù)f（x）=xln x-a（x-1），其中a∈R，求函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，e]上的最小值．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)f（x）的單調區(qū)間，從而求出函數(shù)f（x）在[1，e]的最小值即可．

解答 解：f'（x）=lnx+1-a，令f'（x）=0，∴x=e^a-1，
∴f（x）在區(qū)間（0，e^a-1）單調遞減，在區(qū)間（e^a-1，+∞）單調遞增，
∴f（x）_min=f（1）=0；
當e^a-1≤1即a≤1時，f（x）在區(qū)間[1，e]上單調遞增，
1＜e^a-1＜e即1＜a＜2時，f（x）在[1，e^a-1）遞減，在（e^a-1，e]遞增，
∴$f{（x）_{min}}=f（{e^{a-1}}）=a-{e^{a-1}}$，
當e^a-1≥e即a≥2時，f（x）在[1，e]遞減，
∴f（x）_min=f（e）=a+e-ae，
綜上：當a≤1時，f（x）的最小值為0，
 當1＜a＜2時，f（x）的最小值為a-e^a-1；
當a≥2時，f（x）的最小值為a+e-ae．

點評 本題考查了函數(shù)的單調性、最值問題，考查導數(shù)的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．