Question

數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，a₁=4，a_n+1=2S_n-2n+4．
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列；
（2）設(shè)bn=

an-1

anan+1

，數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和為T_n，求證：8T_n＜1．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)列遞推式，再寫一式，兩式相減，可證數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列；
（2）確定數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，利用裂項(xiàng)法求前n項(xiàng)和為T_n，即可證得結(jié)論．

解答：證明：（1）∵a_n+1=2S_n-2n+4，∴n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1-2（n-1）+4
∴n≥2時(shí)，a_n+1=3a_n-2（2分）
又a₂=2S₁-2+4=10，∴n≥1時(shí)a_n+1=3a_n-2（4分）
∵a₁-1=3≠0，∴a_n-1≠0，
∴

an+1-1

an-1

=3，∴數(shù)列{a_n-1}為等比數(shù)列　　　　　　（6分）
（2）由（1）an-1=3n，∴an=3n+1，
∴bn=

3n

(3n+1)(3n+1+1)

=

1

2

(

1

3n+1

-

1

3n+1+1

)（9分）
∴Tn=

1

2

(

1

31+1

-

1

32+1

+

1

32+1

-

1

33+1

+…+

1

3n+1

-

1

3n+1+1

)=

1

2

(

1

4

-

1

3n+1+1

)（11分）
∴Tn＜

1

8

，
∴8T_n＜1（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的證明，考查裂項(xiàng)法求和，考查不等式的證明，確定數(shù)列的通項(xiàng)是關(guān)鍵．