Question

（本小題滿分12分）如圖，多面體ABCDS中，面ABCD為矩形， ，
（1）求證：CD;
（2）求AD與SB所成角的余弦值;
（3）求二面角A—SB—D的余弦值．

Answer 1

（1）證明見解析。
（2）
（3）

（1）是矩形，      --------------1分
又 -------------2分
                   -------------3分
 CD            -------------4分
（2）由，及（I）結論可知DA、DC、DS
兩兩互相垂直，
建立如圖所示的空間直角坐標系

         --------------5分
                     --------------6分
              --------------7分
AD與SB所成的角的余弦為                 --------------8分
（3）設面SBD的一個法向量為
         --------------9分
又
∴設面DAB的一個法向量為

所以所求的二面角的余弦為                                                   …………11分
解法二
（1）同解法一
（2）矩形ABCD，∴AD//BC，即BC=a，
∴要求AD與SB所成的角，即求BC與SB所成的角                      …………5分
在中，由（1）知，SD⊥面ABCD。
中，
CD是CS在面ABCD內的射影，且
                                 --------------6分
      ----------8分
從而SB與AD的成的角的余弦為 
（3）
面ABCD．  
BD為面SDB與面ABCD的交線．
    SDB                              
于F，連接EF，             
從而得：
為二面角A—SB—D的平面角            ------10分
在矩形ABCD中，對角線            
中，
由（2）知在，

而中，SA=a，且AB=2a，

為等腰直角三角形且為直角，

所以所求的二面角的余弦為                  --------------12分