Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2ax³-（6a+3）x²+12x（a∈R）．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值，并寫出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，1）上是增函數(shù)，求非零實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，然后令導(dǎo)數(shù)為零，判斷導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，確定函數(shù)的極值點(diǎn)；
（2）問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)在（-∞，1）上大于等于零恒成立，然后將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題求解．

解答： 解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=2x³-9x²+12x，所以f′（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2）．
令f′（x）=0得x=1或2．
因?yàn)閤＜1或x＞2時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)1≤x≤2時(shí)，f′（x）＜0，故f（x）_極小=f（2）=4，f（x）_極大=f（1）=5．
（2）若函數(shù)f（x）在（-∞，1）上遞增，則f′（x）=6ax²-（12a+6）x+12≥0在（-∞，1）上恒成立．
結(jié)合圖象可知，顯然當(dāng)a＜0時(shí)不能滿足題意，故a≥0，
當(dāng)a=0時(shí)，解得x≤2，符合題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，原式化為a（x²-2x）≥x-2．因?yàn)閤＜1，所以x-2＜0，
所以原式化為ax≤1在（-∞，1）恒成立．因?yàn)閥=ax此時(shí)是增函數(shù)，所以只需y_max=1×a≤1即可．
所以此時(shí)a的范圍是0＜a≤1．
故所求a的范圍是[0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)其函數(shù)的極值的方法步驟，以及不等式恒成立的思路．后者一般分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題來解．