Question

若F₁、F₂為雙曲線C：的左、右焦點，O為坐標原點，點P及N(2，)均在雙曲線C上，M在G的右準線上，且滿足.

(1)求雙曲線C的離心率及其方程；

(2)設(shè)雙曲線C的虛軸端點為B_l、B₂，(B₁在y軸的正半軸上)，點A、B在雙曲線上，且,當=0時，求直線AB的方程．

Answer 1

解:∵

∴四邊形OF₁PM為菱形.

設(shè)F₁(-c,0),則|PF₁|=|PM|=c

由雙曲線第一定義,得|PF₂|=2a+c

由雙曲線第二定義，得

整理，得e²-e-2=0  解得e=2(e=-1舍去) 

此時C的方程為,將N（2，）代入得,a²=3

∴雙曲線方程為 

(2)依題意B₁(0,3),B₂(0,-3)

∵

∴A、B、B₂三點共線，設(shè)其方程為y=kx-3.

由  得(3-k²)x²+6kx-18=0.(*)

設(shè)A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)

∵k≠±  ∴x₁+x₂=,x₁x₂= 

y₁+y₂=k²x₁x₂-3k(x₁+x₂)+9=9

∵=0 ∴(x₁,y₁-3)·(x₂,y₂-3)=0

∴x₁x₂+y₁y₂-3(y₁+y₂)+9=0

∴+9-3·+9=0,解得k=±

此時方程（*）中，△＞0.故所求直線方程為y=±x-3