Question

（文科）已知拋物線C：y²=2px（p＞0）經(jīng)過點（2，4），A，B為拋物線C上異于坐標(biāo)原點O的兩個動點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若線段AB的中點坐標(biāo)為（2，1），求直線AB的方程；
（Ⅲ）當(dāng)

OA

•

OB

=0時，求證：直線AB恒過定點（2p，0）．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由拋物線C：y²=2px（p＞0）經(jīng)過點（2，4），能求出拋物線C的方程．
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB的中點坐標(biāo)為（2，1），利用點差法能求出直線AB的方程．
（Ⅲ）設(shè)A（

y12

2p

，y₁），B（

y22

2p

，y₂），則

y12y22

4p2

+y1y2=0，從而求出AB方程：y-y₁=

2p

y1+y2

（x-

y12

2p

），由此能證明AB過定點（2p，0）．

解答： （Ⅰ）解：∵拋物線C：y²=2px（p＞0）經(jīng)過點（2，4），
∴4p=16，解得p=4，
∴拋物線C的方程為y²=8x．
（Ⅱ）解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵線段AB的中點坐標(biāo)為（2，1），
∴x₁+x₂=4，y₁+y₂=2，
把設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）代入y²=8x，得：

y12=8x1 y22=8x2

，兩式相減，得2（y₁-y₂）=8（x₁-x₂），
∴k_AB=

y1-y2

x1-x2

=4，
∴直線AB的方程為：y-1=4（x-2），即4x-y-7=0
（Ⅲ）證明：設(shè)A（

y12

2p

，y₁），B（

y22

2p

，y₂），
∵

OA

•

OB

=0，∴OA⊥OB，
∴

y12y22

4p2

+y1y2=0，
∴y₁y₂=-4p²，
k_AB=

y1-y2

y12 2p - y22 2p

=

2p

y1+y2

，
∴AB方程：y-y₁=

2p

y1+y2

（x-

y12

2p

）
當(dāng)y=0時，x=2p，
∴AB過定點（2p，0）．

點評：本題考查拋物線方程的求法，考查直線方程的求法，考查直線過定點的證明，解題時要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．