Question

如圖所示，已知、、是長軸長為的橢圓上的三點(diǎn)，點(diǎn)是長軸的一個(gè)端點(diǎn)，過橢圓中心，且，．

（1）求橢圓的方程；

（2）在橢圓上是否存點(diǎn)，使得？若存在，有幾個(gè)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)），若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）過橢圓上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，作圓的兩條線，切點(diǎn)分別為、，，若直線 在軸、軸上的截距分別為、，證明：為定值.

 

Answer 1

（1）；（2）存在，且有兩個(gè)；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題中條件得到值，然后根據(jù)題中的幾何條件得出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程求出值，從而確定橢圓的方程；（2）解法一是設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式將等式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的直線方程，注意到直線過橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，從而確定滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；解法二是也是設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式將等式轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)所滿足的直線方程，再將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用的正負(fù)確定所滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，先根據(jù)題中條件結(jié)合圓的幾何性質(zhì)得到，，從而得出、、、四點(diǎn)共圓，并寫出圓（以的長為半徑的圓）的方程，通過將點(diǎn)、的坐標(biāo)代入圓的方程，將兩個(gè)等式相減的辦法得到直線的方程，進(jìn)而求出、（由點(diǎn)的坐標(biāo)表示），并將點(diǎn)的坐標(biāo)由、表示，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程化簡即可證明相關(guān)問題；解法二是設(shè)、、三點(diǎn)的坐標(biāo)，利用圓的幾何性質(zhì)得到，先利用點(diǎn)斜式寫出直線的方程，同時(shí)寫出直線的方程，再將點(diǎn)代入上述兩直線的方程，通過比較得出直線的方程，進(jìn)而求出、（由點(diǎn)的坐標(biāo)表示），并將點(diǎn)的坐標(biāo)由、表示，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓的方程化簡即可證明相關(guān)問題.

試題解析：（1）依題意知：橢圓的長半軸長，則，

設(shè)橢圓的方程為，

由橢圓的對(duì)稱性知 又，，

，，為等腰直角三角形，

點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，

將的坐標(biāo)代入橢圓方程得，

所求的橢圓的方程為；

（2）解法一：設(shè)在橢圓上存在點(diǎn)，使得，設(shè)，則

，

即點(diǎn)在直線上，

點(diǎn)即直線與橢圓的交點(diǎn)，

直線過點(diǎn)，而點(diǎn)橢圓在橢圓的內(nèi)部，

滿足條件的點(diǎn)存在，且有兩個(gè)；

解法二：設(shè)在橢圓上存在點(diǎn)，使得，設(shè)，則

，

即，①

又點(diǎn)在橢圓上，，②

由①式得代入②式并整理得：，③

方程③的根判別式，

方程③有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即滿足條件的點(diǎn)存在，且有兩個(gè)；

（3）解法一：設(shè)點(diǎn)，由、是圓的切點(diǎn)知，，，

、、、四點(diǎn)在同一圓上，

且圓的直徑為，則圓心為，

其方程為，

即，④

即點(diǎn)、滿足方程④，又點(diǎn)、都在圓上，

、坐標(biāo)也滿足圓的方程，⑤

⑤④得直線的方程為，

令，得，令得，

，，又點(diǎn)在橢圓上，

，即（定值）；

解法二：設(shè)點(diǎn)、、，則，

直線的方程為，化簡得，④

同理可得直線的方程為，⑤把點(diǎn)的坐標(biāo)代入④、⑤得，

直線的方程為，

令，得，令得，

，，又點(diǎn)在橢圓上，

，即（定值）.

考點(diǎn)：1.橢圓的方程；2.直線與圓、圓錐曲線的位置關(guān)系；3.直線的方程