Question

12．奇函數(shù)f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增且f（2）=0，則不等式$\frac{f（x）}{x-1}＞0$的解集為（　�。�

• A． （-∞，-2）∪（0，1）∪（1，2）
• B． （-2，0）∪（1，2）
• C． （-∞，-2）∪（2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（0，1）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 通過當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，又f（2）=0，則f（x）＞0=f（2），當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0，又函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，求出x＜0時(shí)不等式的解集，進(jìn)而求出不等式$\frac{f（x）}{x-1}＞0$的解集即可．

解答 解：當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）在（0，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
又f（2）=0，則f（x）＞0=f（2），∴x＞2．
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）＜0，解得：0＜x＜1，
又函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，
則f（-2）=0且f（x）在（-∞，0）內(nèi)單調(diào)遞增，
則當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＜0=f（-2），∴x＜-2，
綜上所述，x＞2或0＜x＜1或x＜-2，
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題考查了奇函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性，還考查了分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，本題有一定的思維難度，屬于中檔題．