Question

7．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）上一點P（3，t）到焦點F距離為4．
（1）求拋物線方程；
（2）經(jīng)過點（4，0）的直線l交拋物線C于A，B兩點，M（-4，0），若直線AM，BM的斜率分別為k₁，k₂，求k₁•k₂的最小值．

Answer 1

分析 （1）由拋物線的定義可得3+$\frac{p}{2}$=4，求出p，即可求拋物線方程；
（2）設(shè)直線方程為x=my+4，代入拋物線方程得出交點的坐標關(guān)系，利用韋達定理，結(jié)合斜率，即可求k₁•k₂的最小值．

解答 解：（1）由拋物線的定義可得3+$\frac{p}{2}$=4，∴p=2，
∴拋物線方程為y²=4x；
（2）設(shè)l：x=my+4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
將x=my+4代入y²=4x得y²-4my-16=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-16．
∴x₁+x₂=4m²+8，x₁x₂=16．
∴k₁•k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+4}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+4}$=$\frac{-1}{{m}^{2}+4}$，
∴m=0時，k₁•k₂取得最小值-$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了拋物線的方程與性質(zhì)，直線的斜率，直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題．