Question

10．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知bsinA=3csinB，a=6，cosB=$\frac{1}{3}$．
（Ⅰ）求b；
（Ⅱ）求cos（2B+$\frac{π}{6}$）．

Answer 1

分析 （I）利用正弦定理余弦定理即可得出．
（II）利用倍角公式和差公式即可得出．

解答 解：（Ⅰ）在△ABC中，$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，可得bsinA=asinB，
又由bsinA=3csinB，可得a=3c，又因a=6，故c=2．
由b²=a²+c²-2accosB，則$cosB=\frac{1}{3}$，可得$b=4\sqrt{2}$．
（Ⅱ）由$cosB=\frac{1}{3}$，可得$sinB=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，進而得$cos2B=2{cos^2}B-1=-\frac{7}{9}$，$sin2B=2sinBcosB=\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$，
所以$cos（2B+\frac{π}{6}）=cos2Bcos\frac{π}{6}-sin2Bsin\frac{π}{6}=-\frac{7}{9}•\frac{{\sqrt{3}}}{2}-\frac{{4\sqrt{2}}}{9}•\frac{1}{2}=-\frac{{7\sqrt{3}+4\sqrt{2}}}{18}$．

點評 本題考查了正弦定理余弦定理、三角函數(shù)求值、倍角公式和差公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．