Question

已知函數(shù)f（x）=x²+bx+2，g（x）=|x²-1|，x∈R．
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）滿足f（1+x）=f（2-x），求使不等式f（x）≥g（x）成立的x的取值集合；
（Ⅱ）若函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）+2在（0，2）上有兩個不同的零點x₁，x₂，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）通過f（1+x）=f（2-x），求出函數(shù)的對稱軸，得到b的值，化簡g（x）為分段函數(shù)，直接求解不等式f（x）≥g（x）成立的x的取值集合；
（Ⅱ）化簡函數(shù)h（x）=f（x）+g（x）+2的表達式，通過b為0與不為0，分析函數(shù)在（0，2）上有兩個不同的零點x₁，x₂，推出關(guān)系式，即可求實數(shù)b的取值范圍．

解答：解：（I）由于f（1+x）=f（2-x）知函數(shù)f（x）關(guān)于x=

3

2

對稱，
即-

b

2

=

3

2

，解得b=-3，于是 f（x）=x²-3x+2．…（3分）
g(x)=

x2-1，  x≤-1或x≥1 1-x2，  -1＜x＜1

當x≤-1，或x≥1時，由f（x）≥g（x）有x²-3x+2≥x²-1，解得x≤1，
∴此時x的范圍為x≤-1，或x=1．
當-1＜x＜1時，由f（x）≥g（x）有x²-3x+2≥1-x²，解得x≤

1

2

或x≥1，
∴此時x的范圍為-1＜x≤

1

2

．
∴綜上知，使不等式f（x）≥g（x）成立的x的取值集合為{x|x≤

1

2

或x=1}．…（7分）
（II）h(x)=

2x2+bx+3，x≤-1或x≥1 bx+5，           -1＜x＜1

若b=0時，h(x)=

2x2+3，x≤-1或x≥1 5，            -1＜x＜1.

，
顯然h（x）＞0恒成立，不滿足條件．…（9分）
若b≠0時，函數(shù)?（x）=bx+5在（0，1）上是單調(diào)函數(shù)，
即?（x）在（0，1）上至多一個零點，不妨設(shè)0＜x₁＜x₂＜2．
①如果0＜x₁＜1，1≤x₂＜2時，則?（0）?（1）＜0，且h（1）h（2）≤0，
即

b+5＜0 (b+5)(2b+11)≤0

解得-

11

2

≤b＜-5．
經(jīng)檢驗b=-

11

2

時，h（x）的零點為

10

11

或2（舍去），
∴-

11

2

＜b＜-5．
②若1≤x₁＜x₂＜2時，

h(1)≥1 h(2)＞0 1＜- b 4 ＜2 b2-24＞0

，
即

b+5≥0 2b+11＞0 -8＜b＜-4 b＜-2 6 或b＞2 6

，
得：-5≤b＜-2

6

．
∴綜上所述b的取值范圍為-

11

2

＜b＜-2

6

． …（12分）

點評：本題考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的零點的討論，分類討論思想的應(yīng)用，考查計算能力以及轉(zhuǎn)化思想．