Question

2．已知A，B，C三點都在體積為$\frac{500π}{3}$的球O的表面上，若$AB=4\sqrt{3}$，∠ACB=60°，則球心O到平面ABC的距離為3．

Answer 1

分析 設(shè)球的半徑為R，通過球的體積，解得R．設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，2r=$\frac{AB}{sin∠ACB}$，解得r．可得球心O到平面ABC的距離d=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$．

解答 解：設(shè)球的半徑為R，則$\frac{4π{R}^{3}}{3}$=$\frac{500π}{3}$，解得R=5．
設(shè)△ABC的外接圓的半徑為r，2r=$\frac{AB}{sin∠ACB}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=8，解得r=4．
∴球心O到平面ABC的距離d=$\sqrt{{R}^{2}-{r}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3．
故答案為：3．

點評 本題考查了球的體積計算公式及其性質(zhì)、三角形的外接圓的半徑、正弦定理、勾股定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．