Question

7．從一個正方形中截去部分幾何體，得到一個以原正方形的部分頂點的多面體，其三視圖如圖，則該幾何體的體積為9，表面積為$\frac{27+18\sqrt{2}+9\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 由三視圖還原原幾何體，可得原幾何體是把正方體AC₁ 截去三棱柱A₁AB-D₁DC，再把剩余的三棱柱A₁B₁B-D₁C₁C截去三棱錐C₁-D₁B₁C得到，畫出圖形，即可求得幾何體的體積與表面積．

解答 解：由三視圖還原原幾何體如圖，

原幾何體是把正方體AC₁ 截去三棱柱A₁AB-D₁DC，
再把剩余的三棱柱A₁B₁B-D₁C₁C截去三棱錐C₁-D₁B₁C得到．
其體積為V=$\frac{2}{3}×\frac{1}{2}×3×3×3=9$；
表面積S=3×$\frac{1}{2}×3×3$+3×$3\sqrt{2}$+$\frac{1}{2}×3\sqrt{2}×\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}-（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{27+18\sqrt{2}+9\sqrt{3}}{2}$．
故答案為：9，$\frac{27+18\sqrt{2}+9\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查由三視圖求多面體的體積，關鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題．