Question

15．已知函數(shù)f（x）=（x²-3）e^x，現(xiàn)給出下列結(jié)論：
①f（x）有極小值，但無最小值②f（x）有極大值，但無最大值
③若方程f（x）=b恰有一個實數(shù)根，則b＞6e^-3
④若方程f（x）=b恰有三個不同實數(shù)根，則0＜b＜6e^-3
其中所有正確結(jié)論的序號為②④．

Answer 1

分析 求出函數(shù)f（x）的導數(shù)，以及單調(diào)區(qū)間和極值、最值，作出f（x）的圖象，由圖象可判斷①③錯；②④對．

解答 解：由函數(shù)f（x）=（x²-3）e^x，
可得導數(shù)為f′（x）=（x²+2x-3）e^x，
當-3＜x＜1時，f′（x）＜0，f（x）遞減；
當x＞1或x＜-3時，f′（x）＞0，f（x）遞增．
當x→-∞時，f（x）→0；當x→+∞時，f（x）→+∞．
作出函數(shù)f（x）的圖象，可得：
f（x）在x=1處取得極小值，且為最小值-2e；
在x=-3處取得極大值，且為6e^-3，無最大值．
故①錯；②對；
若方程f（x）=b恰有一個實數(shù)根，
可得b=-2e或b＞6e^-3，故③錯；
若方程f（x）=b恰有三個不同實數(shù)根，
可得0＜b＜6e^-3，故④對．
故答案為：②④．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求單調(diào)區(qū)間和極值、最值，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想，注意運用數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．