Question

關(guān)于數(shù)列{a_n}有以下命題，其中錯誤的命題為（ ）
A．若n≥2且a_n+1+a_n-1=2a_n，則{a_n}是等差數(shù)列
B．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且2S_n=1+a_n，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n=（-1）^n-1
C．若n≥2且a_n+1a_n-1=a_n²，則{a_n}是等比數(shù)列
D．若{a_n}是等比數(shù)列，且m，n，k∈N⁺，m+n=2k，則a_ma_n=a_k²

Answer 1

【答案】分析：A、當(dāng)n≥2時，由a_n+1+a_n-1=2a_n，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可得到此數(shù)列為等差數(shù)列；
B、根據(jù)已知的等式求出a₁的值，當(dāng)n≥2時，由S_n-S_n-1=a_n即可得到此數(shù)列的公比，進(jìn)而寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；
C、舉一個反例，說明{a_n}不是等比數(shù)列；
D、根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可得到此選項(xiàng)正確．
解答：解：A、當(dāng)n≥2時，由a_n+1+a_n-1=2a_n，變形得：a_n+1-a_n=a_n-a_n-1，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到{a_n}是等差數(shù)列，本選項(xiàng)正確；
B、當(dāng)n=1時，2S₁=2a₁=1+a₁，解得a₁=1，
n≥2時，由2S_n=1+a_n①得到：2S_n-1=1+a_n-1②，
①-②得：2a_n=a_n-a_n-1，即a_n=-a_n-1，即公比q=-1，
所以數(shù)列{a_n}為首項(xiàng)為1，公比為-1的等比數(shù)列，
則a_n=（-1）^n-1，本選項(xiàng)正確；
C、當(dāng)數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)為0時，滿足n≥2且a_n+1a_n-1=a_n²，但數(shù)列{a_n}不是等比數(shù)列，本選項(xiàng)錯誤；
D、因?yàn)閧a_n}是等比數(shù)列，m，n，k∈N⁺，m+n=2k，所以根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到a_ma_n=a_k²，本選項(xiàng)正確，
則錯誤的命題的選項(xiàng)為C．
故選C
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)及等比數(shù)列的性質(zhì)化簡求值，是一道基礎(chǔ)題．注意說明命題為假命題經(jīng)常使用舉反例的方法．