Question

18．已知函數(shù)f（x）=1+a•（$\frac{1}{3}$）^x+（$\frac{1}{9}$）^x．
（1）當(dāng)a=-2，x∈[1，2]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值與最小值；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上都有-2≤f（x）≤3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 令t=（$\frac{1}{3}$）^x，則y=f（x）=1+at+t²，
（1）當(dāng)a=-2，x∈[1，2]時(shí)，y=f（x）=1-2t+t²，t∈[$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{3}$]，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)f（x）的最大值與最小值；
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上都有-2≤f（x）≤3，y=1+at+t²，在（0，$\frac{1}{3}$]上都有-2≤y≤3，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：令t=（$\frac{1}{3}$）^x，則y=f（x）=1+at+t²，
（1）當(dāng)a=-2，x∈[1，2]時(shí)，y=f（x）=1-2t+t²，t∈[$\frac{1}{9}$，$\frac{1}{3}$]，
當(dāng)t=$\frac{1}{9}$，即x=2時(shí)，函數(shù)f（x）的最大值為$\frac{64}{81}$，
當(dāng)t=$\frac{1}{3}$，即x=1時(shí)，函數(shù)f（x）的最小值為$\frac{4}{9}$，
（2）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上都有-2≤f（x）≤3，
則y=1+at+t²，在（0，$\frac{1}{3}$]上都有-2≤y≤3，
由函數(shù)y=1+at+t²的圖象是開口朝上，且以直線t=$-\frac{a}{2}$為對(duì)稱軸的直線，
故當(dāng)$-\frac{a}{2}$≤0，即a≥0時(shí)，1+$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{9}$≤3，解得：a∈[0，$\frac{17}{3}$]
當(dāng)0＜$-\frac{a}{2}$＜$\frac{1}{3}$，即$-\frac{2}{3}$＜a＜0時(shí)，$\left\{\begin{array}{l}\frac{4-{a}^{2}}{4}≥-2\\ 1+\frac{1}{3}a+\frac{1}{9}≤3\end{array}\right.$，解得：a∈（$-\frac{2}{3}$，0），
當(dāng)$-\frac{a}{2}$≥$\frac{1}{3}$，即a≤$-\frac{2}{3}$時(shí)，1+$\frac{1}{3}$a+$\frac{1}{9}$≥-2，解得：a∈[-$\frac{28}{3}$，$-\frac{2}{3}$]
綜相可得a∈[-$\frac{28}{3}$，$\frac{17}{3}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的最值，恒成立問題，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，難度中檔．