Question

5．如圖，直三棱柱A′B′C′-ABC，延長(zhǎng)CB到點(diǎn)D，使BD=BC，點(diǎn)E為A′D的中點(diǎn)，∠ABC=90°，$AB=BC=\sqrt{2}$，A′A=2．
（1）證明：BE∥平面A′ACC′；
（2）求三棱錐A′-EB′C的體積
′．

Answer 1

分析 （1）由題意可得，E、B分別為A′D、DC的中點(diǎn)，由三角形中位線(xiàn)定理可得EB∥A′C，再由線(xiàn)面平行的判定得答案；
（2）由已知求得AC=A′A=2，利用面面垂直的性質(zhì)可得BB′⊥平面A′B′C′，再由線(xiàn)面垂直的判定得A′B′⊥平面BCC′B′，然后利用等積法把三棱錐A′-EB′C的體積轉(zhuǎn)化為A′-B′DC面積的一半得答案．

解答 （1）證明：∵E、B分別為A′D、DC的中點(diǎn)，∴EB∥A′C
又A′C?平面A′ACC′，且BE?平面A′ACC′，
∴BE∥平面A′ACC′

（2）解：∵AB=BC=$\sqrt{2}$，∠ABC=90°，∴AC=2，
又A′A=2，∴AC=A′A=2，
∵A′B′C′-ABC為直三棱柱，∴∠A′B′C′=90°，
∴A′B′⊥B′C′，
又BB′⊥平面A′B′C′，
∴A′B′⊥B′B，
又B′C′∩BB′=B′，
∴A′B′⊥平面BCC′B′．
∴${V_{A'-EB'C}}={V_{B'-A'EC}}=\frac{1}{2}{V_{B'-A'DC}}=\frac{1}{2}{V_{A'-B'DC}}=\frac{1}{2}[{\frac{1}{3}×（\frac{1}{2}×2\sqrt{2}×2）\sqrt{2}}]=\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線(xiàn)面平行的判定，考查了棱柱、棱錐、棱臺(tái)體積的求法，訓(xùn)練了等積法的運(yùn)用，是中檔題．