Question

11．已知橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{1}{2}$，以E的四個(gè)頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為4$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設(shè)A，B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，P是直線x=4上不同于點(diǎn)（4，0）的任意一點(diǎn)，若直線AP，BP分別與橢圓相交于異于A，B的點(diǎn)M、N，試探究，點(diǎn)B是否在以MN為直徑的圓內(nèi)？證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意得$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$•2a•2b=4$\sqrt{3}$，又a²=b²+c²，由此解得a，b．即可得出．
（Ⅱ）點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)．分析如下：
方法1：由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0）．設(shè)M（x₀，y₀）．又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，可得-2＜x₀＜2．由P、A、M三點(diǎn)共線可以得P．可得$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BP}$＞0，即可證明．
方法2：由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0）．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），依題意，計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差．|BQ|²-$\frac{1}{4}$|MN|²=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂，兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在直線x=4上，可得$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=$\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，化簡(jiǎn)后可得|BQ|²-$\frac{1}{4}$|MN|²＜0，即可證明．

解答 解：（Ⅰ）依題意得$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$•2a•2b=4$\sqrt{3}$，又a²=b²+c²，由此解得a=2，b=$\sqrt{3}$．
所以橢圓E的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（Ⅱ）點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)．證明如下：
方法1：由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0）．設(shè)M（x₀，y₀）．
∵M(jìn)點(diǎn)在橢圓上，∴y₀²=$\frac{3}{4}$（4-x₀²）．�、�
又點(diǎn)M異于頂點(diǎn)A、B，∴-2＜x₀＜2．
由P、A、M三點(diǎn)共線可以得P$（4，\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}）$．
從而$\overrightarrow{BM}$=（x₀-2，y₀），$\overrightarrow{BP}$=$（2，\frac{6{y}_{0}}{{x}_{0}+2}）$．
∴$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BP}$=2x₀-4+$\frac{6{y}_{0}^{2}}{{x}_{0}+2}$=$\frac{2}{{x}_{0}+2}$（x₀²-4+3y₀²）．�、�
將①代入②，化簡(jiǎn)得$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BP}$=$\frac{5}{2}$（2-x₀）．
∵2-x₀＞0，∴$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{BP}$＞0，于是∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角，
故點(diǎn)B在以MN為直徑的圓內(nèi)．
方法2：由（Ⅰ）得A（-2，0），B（2，0）．設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則-2＜x₁＜2，-2＜x₂＜2，又MN的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為$（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}，\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}）$，
依題意，計(jì)算點(diǎn)B到圓心Q的距離與半徑的差
|BQ|²-$\frac{1}{4}$|MN|²=$（\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}-2）^{2}$+$（\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}）^{2}$-$\frac{1}{4}$[（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²]
=（x₁-2）（x₂-2）+y₁y₂�、�
直線AP的方程為y=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$（x+2），直線BP的方程為y=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$（x-2），
而兩直線AP與BP的交點(diǎn)P在直線x=4上，
∴$\frac{6{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$=$\frac{2{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，即y₂=$\frac{3（{x}_{2}-2）{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$�、�
又點(diǎn)M在橢圓上，則$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}$=1，即y₁²=$\frac{3}{4}$（4-x₁²）　⑤
于是將④、⑤代入③，化簡(jiǎn)后可得|BQ|²-$\frac{1}{4}$|MN|²=$\frac{5}{4}$（2-x₁）（x₂-2）＜0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．