Question

在數(shù)列中，且對(duì)任意的成等比數(shù)列，其公比為，
（1）若；
（2）若對(duì)任意的成等差數(shù)列，其公差為．
①求證：成等差數(shù)列，并指出其公差；
②若，試求數(shù)列的前項(xiàng)和．

Answer 1

(1);(2)①；②或

試題分析：(1)由于，因此成等比數(shù)列，且公比為4，故和易求；（2）①要證明是等差數(shù)列，就是要證明為常數(shù)，也就是要找到與的關(guān)系，我們從唯一的已知條件有即，這就是變形為即由此就證得；②求數(shù)列的前項(xiàng)和，必須先求出通項(xiàng)，而，因此又應(yīng)該求出，這時(shí)我們來(lái)看看已知可得出什么？由得即，解得：或，從而可求得，于是可通過(guò)是公差為1的等差數(shù)列，求出，下面我們想辦法通過(guò)把聯(lián)系起來(lái)，，于是
，而再用可得出，所以，那么可求．
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042149799463.png" style="vertical-align:middle;" />，所以（1分）
故是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列，
所以（4分）
（2）①因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042150408598.png" style="vertical-align:middle;" />成等差數(shù)列，所以
而所以（6分）
則得
所以所以是等差數(shù)列，且公差是等差數(shù)列，且公差為1． （9分）
②因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824042150096462.png" style="vertical-align:middle;" />所以則由，解得：或。
（11分）
(i) 當(dāng)時(shí)，，所以，則即，得，所以
則
所以（13分）
則，故；（14分）
（ii）當(dāng)時(shí)，，所以，則即，得，（15分）
則
所以（17分）
則，故（18分）
綜上所述，或