Question

已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，短軸一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為3．
（1）求橢圓C的方程；
（2）橢圓C上是否存在點(diǎn)P，使得過點(diǎn)P引圓O：x²+y²=b²的兩條切線PA、PB互相垂直？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接根據(jù)條件列出，解方程求出b，c即可得到橢圓C的方程；
（2）先根據(jù)條件分析出AOBP為正方形，|AO|=|AP|，得到關(guān)于點(diǎn)P坐標(biāo)的等式；再結(jié)合點(diǎn)P在橢圓上即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
解答：解：（1）設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意 …（3分）
∴b=2，…（4分）
∴所求橢圓方程為． （5分）
（2）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），
依題意，∠APO=∠BPO=90°，又∠APB=90°．所以AOBP為矩形，
又|BP|=|AP|，|BO|=|AO|．所以AOBP為正方形，則有|AO|=|AP|．（7分）
即|OA|= 有2=
兩邊平方得x²+y²=8…①（9分）
又因?yàn)镻（x，y）在橢圓上，所以4x²+9y²=36…②
①，②聯(lián)立解得， （11分）
所以滿足條件的有以下四組解
，，，．
所以，橢圓C上存在四個(gè)點(diǎn)（），（，-），（-，），（-，-），
分別由這四個(gè)點(diǎn)向圓O所引的兩條切線均互相垂直．（14分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查圓與圓錐曲線的綜合問題．解決第二問的關(guān)鍵在于根據(jù)條件分析出AOBP為正方形，|AO|=|AP|，得到關(guān)于點(diǎn)P坐標(biāo)的等式．