Question

已知點(diǎn)A（1，3）和拋物線y²=4x，點(diǎn)P在拋物線上移動(dòng)，P在y軸上的射影為Q，則|PQ|+|PA|的最小值是
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• A．1+

  2

• B．2+

  3

• C．3
• D．2

Answer 1

分析：設(shè)M為P在拋物線準(zhǔn)線上的射影，根據(jù)拋物線的定義可得|PQ|+|PA|=|PM|+|PA|-1=|PF|+|PA|，由平面幾何知識(shí)可得當(dāng)P點(diǎn)恰好在線段AF上時(shí)，|PQ|+|PA|達(dá)到最小值，由此即可得到答案．

解答：解：∵拋物線方程為y²=4x，
∴焦點(diǎn)為F（1，0），準(zhǔn)線方程l：x=-1，
設(shè)M為P在拋物線準(zhǔn)線上的射影，
∴P、Q、M三點(diǎn)共線，且|PM|=|PQ|+1
根據(jù)拋物線的定義，可得
|PM|+|PA|=|PF|+|PA|
設(shè)AF與拋物線交點(diǎn)為P₀，則P與P₀重合時(shí)，
|PF|+|PA|=|AF|=3達(dá)到最小值，
因此，|PM|+|PA|的最小值等于3
可得|PQ|+|PA|=|PM|+|PA|-1的最小值為2
故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出拋物線上的動(dòng)點(diǎn)P，求P到A的距離與它到y(tǒng)軸投影點(diǎn)Q的距離和的最小值．著重考查了拋物線的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．