Question

已知函數(shù)f（x）=cos²（x+

π

12

），g（x）=1+

1

2

sin2x．
（1）設(shè)x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，求g（x₀）的值；
（2）令h（x）=f（x）+g（x），求函數(shù)h（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若關(guān)于x的不等式f（x）+a-

1

2

＞0在[0，

π

2

]上有解，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的最值

專題：綜合題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）先對函數(shù)f（x）根據(jù)二倍角公式進(jìn)行化簡，再由x=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸求出x₀的值后代入到函數(shù)g（x）中，對k分奇偶數(shù)進(jìn)行討論求值．
（2）將函數(shù)f（x）、g（x）的解析式代入到h（x）中化簡整理成y=Asin（wx+ρ）+b的形式，得到h（x）=

1

2

，然后令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

求出x的范圍即可．

解答： 解：（1）由題設(shè)知f（x）=

1

2

[1+cos（2x+

π

6

）]．
因?yàn)閤=x₀是函數(shù)y=f（x）圖象的一條對稱軸，所以2x₀+

π

6

=kπ，
即2x₀=kπ-

π

6

（k∈Z）．
所以g（x₀）=1+

1

2

sin2x₀=1+

1

2

sin（kπ-

π

6

）．
當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，g（x₀）=1+

1

2

sin（-

π

6

）=1-

1

4

=

3

4

，
當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，g（x₀）=1+

1

2

sin（

π

6

）=1+

1

4

=

5

4

．
（2）h（x）=f（x）+g（x）=

1

2

[1+cos（2x+

π

6

）]+1+

1

2

sin2x
=

1

2

[cos（2x+

π

6

）+sin2x]+

3

2

=

1

2

（

3

2

cos2x+

1

2

sin2x）+

3

2

=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

3

2

，
所以函數(shù)h（x）的最小正周期T=π．
當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z）時(shí)，
函數(shù)h（x）=

1

2

sin（2x+

π

3

）+

3

2

是增函數(shù)，
故函數(shù)h（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）．
（3）f（x）+a-

1

2

＞0，即有

1

2

cos（2x+

π

6

）＞-a在[0，

π

2

]上有解，
令f=

1

2

cos（2x+

π

6

），有f_max=

1

2

，f_min=-

1

2

，
所以-

1

2

＜f＜

1

2

，
要使-a＜f（x）有解，則a＞-

1

2

，
所以a的取值范圍是a＞-

1

2

．

點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)--單調(diào)性、對稱性，考查二倍角公式的運(yùn)用，屬于中檔題．