Question

18．如果存在非零常數(shù)C，對于函數(shù)y=f（x）定義域上的任意x，都有f（x+C）＞f（x）成立，那么稱函數(shù)為“Z函數(shù)”．
（Ⅰ）若g（x）=2^x，h（x）=x²，試判斷函數(shù)g（x）和h（x）是否是“Z函數(shù)”？若是，請證明：若不是，主說明理由：
（Ⅱ）求證：若y=f（x）（x∈R）是單調(diào)函數(shù)，則它是“Z函數(shù)”；
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）=ax³+2x²+3是“Z函數(shù)”，求實數(shù)a滿足的條件．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)“Z函數(shù)”的定義解不等式即可判斷．
（Ⅱ）由y=f（x）（x∈R）是單調(diào)函數(shù)，若是增函數(shù)，則當(dāng)c＞0時，函數(shù)為“Z函數(shù)”；若是減函數(shù)，則當(dāng)c＜0時，函數(shù)為“Z函數(shù)”，從而得證；
（Ⅲ）由函f（x）=ax³+2x²+3是“Z函數(shù)”，則函數(shù)f（x）滿足定義，結(jié)合一元二次不等式恒成立進行求解即可．

解答 證明：（Ⅰ）若g（x）=2^x，由g（x+C）＞g（x）得2^x+C＞2^x，即x+C＞x，則C＞0，即存在C＞0，則g（x）是“Z函數(shù)”，
若h（x）=x²，由h（x+C）＞h（x）得（x+C）²＞x²，即2Cx+C²＞0，
即若C＞0，則2x+C＞0，不能恒成立，若C＜0，則2x+C＜0，不能恒成立即h（x）不是“Z函數(shù)”．
（Ⅱ）若y=f（x）（x∈R）是單調(diào)函數(shù)，
若y=f（x）（x∈R）是增函數(shù)，則當(dāng)c＞0時，都有f（x+c）＞f（x）成立，函數(shù)為“Z函數(shù)”．
若y=f（x）（x∈R）是減函數(shù)，則當(dāng)c＜0時，都有f（x+c）＞f（x）成立，函數(shù)為“Z函數(shù)”．
（Ⅲ）若函數(shù)f（x）=ax³+2x²+3是“Z函數(shù)”，
由f（x+C）＞f（x）得函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，
得a（x+C）³+2（x+C）²+3＞ax³+2x²+3，
即3aCx²+（3aC²+4C）x+（aC³+2C²）＞0恒成立，
則$\left\{\begin{array}{l}{3aC＞0}\\{△=（3a{C}^{2}+4{C）}^{2}-12aC（a{C}^{3}+2{C}^{2}）＜0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{aC＞0}\\{aC＞\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$，
則$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{C＞\frac{4\sqrt{3}}{3a}}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{a＜0}\\{C＜\frac{4\sqrt{3}}{3a}}\end{array}\right.$，即a≠0即可．

點評 本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，考查了進行簡單的合情推理的能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．